確率変数とはなにか

http://homepage1.nifty.com/herumi/diary/1102.html#16

西尾さんが確率変数が変数なのか写像なのかよく分からないと言ってて

どちらかというと「確率変数がΩ→Rの関数なのはわかったけどそれは確率分布と何が違うの」かと。教えてもらったことを僕が理解した範囲で掻い摘んで書くと

  • 連続濃度の集合(例えば[0, 1])の部分集合の中には測度(長さ, 面積, ...)が定義できないような気持ち悪い集合がある
  • だから無制限な「部分集合全部の集合」じゃなくて、そういう気持ち悪いやつを排除した集合を考えたい

ということかと。で、確率変数Xってのはその過程で出てくる「事象から実数への関数」であり、例えば「ランダムに分布した単位円周上の点(x, y)」を実数値θにマッピングするような感じ。2次元以上の場合に構成的にマッピングを作れるとは限らないけど、存在することは示せるのでそれでいいらしい。

で「確率変数θが負であるような事象の確率」P(X^{-1}((-∞, X(0))))がP(X < 0)とか略記されるので、プログラマが型を厳格に考えようとすると「Xは0と比較されているから実数値のはずで…あれ？Pの引数って事象じゃないの？？「X < 0という事象」ってこと？あれこっちにはP(X)とか書いてある？なんだこりゃ？？？？」ってなっちゃうんでショートコーディング用の略記法だと思って諦めよう！