バナッハ・タルスキの逆理

昼ご飯を食べているときに光成さんにバナッハ＝タルスキーのパラドックス - Wikipediaの起きる理由を大まかに教えてもらったので興味を持って調べてみた。

日本語の記事にない「証明の概要」が英語版にはある。Banach–Tarski paradox

で、それを読んでいてFree groupについて調べてそれからGenerating set of a groupについて調べて眠くなった(今ここ)

簡単に言うと、もし「集合がいくつもある時に、それぞれの集合から1個ずつ取り出した組を作ることができる(たとえば整数の集合とASCII文字列の集合と日本の都市の集合があった場合に1個ずつ取り出して(1, "hoge", 東京)っていう組を作ることができる)」という主張(選択公理)を認めるのならば「半径1の3次元の球を5つに分割して、平行移動と回転だけをして組み替えると、半径1の3次元の球が2つ作ることができる」ということが証明できるという話。選択公理を使ってまず球を体積を定義できない立体に分割し、その後で三次元的に回転してから組み合わせると、もとの体積とは違うものを作ることができるそうな。

見えているのに面積0なシェルピンスキーのギャスケットですら、まだ「0」という面積が定義できているわけなので、体積の定義できない立体というのはさぞかし謎な形をしているに違いない。

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Free Group 理解した(つもり)

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let A be a rotation of some irrational multiple of π, take arccos(1/3), about the first, x axis,
and B be a rotation of some irrational multiple of π, take arccos(1/3), about the second, z axis.

わかりにくいけどπの無理数倍だけx軸周りに回転するのがAでz軸周りに回転するのがBかな。

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orbitが無数にできそうな気がするけど何を誤解しているんだろう僕は。